@Anh: Tử số cũng biến thiên theo ha, hb, hc ...Suy luận được như trên chỉ khi Tử số là một số A không đổi. 

=======================================... 
Gọi S là diện tích tam giác, r là bánh kính đường tròn nội tiếp 

Ta có 

ha=2S/a =r(a+b+c)/a 

=> ha^2 + hb^2 + hc^2 = r^2(a+b+c)^2 * (1/a^2+1/b^2+1/c^2)} 

=> T = (a+b+c)^2/(ha^2+hb^2+hc^2) = 

=1/r^2/(1/a^2+1/b^2+1/c^2) 

Ta c/m (1/a^2+1/b^2+1/c^2) <=1/4r^2 (*) 

=> T<=1/4 

=> Max(T) = 1/4 Khi tam giác đều 

====================== 
c/m bất đẳng thức (*) 

S = pr 

S= √p(p-a)(p-b)(p-c) 

=> pr= √p(p-a)(p-b)(p-c) 

=> (pr^2) = (p-a)(p-b)(p-c) 

=> 1/r^2 = p/(p-a)(p-b)(p-c) = 1/((p-a)(p-b) + 1/(p-b)(p-c) + 1/(p-a)(p-c) 

=> 1/4r^2 = 1/[a^2 - (b-c)^2] + 1/[b^2 - (a-c)^2] + 1/[c^2 - (b-a)^2] >= 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 

=> 1/4r^2>= 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 

=> (1/r^2)/ 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 >= 1/4

Đúng nha Trần Thị Kiều Linh

Ta có:

\(S=pr=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

\(\Leftrightarrow p^2r^2=p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)

\(\Leftrightarrow r^2=\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{r^2}=\frac{p}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\frac{1}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}+\frac{1}{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}+\frac{1}{\left(p-a\right)\left(p-c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{r^2}=4\left(\frac{1}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}+\frac{1}{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}+\frac{1}{\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4r^2}=\frac{1}{c^2-\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2-\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{b^2-\left(c-a\right)^2}\)

\(\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)(áp dụng \(x^2-y^2\le x^2\)) 

\(\Rightarrow4r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}\ge4\left(1\right)\)

Ta lại có

\(S=\frac{a.ha}{2}=pr=\frac{r\left(a+b+c\right)}{2}\)

\(\Rightarrow ha=\frac{r\left(a+b+c\right)}{a}\)

\(\Rightarrow ha^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{a^2}\)

Tương tự

\(hb^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{b^2}\)

\(hc^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{c^2}\)

Cộng vế theo vế ta được

\(ha^2+hb^2+hc^2=r^2\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}=\frac{1}{r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}\ge4\)

Bài làm này thật xuất sắc !

p và r là gì vậy bạn??

Đăng lâu nhỉ